Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 28

(2 pkt.)
Uzasadnij, że jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym, to $sin^4\alpha+cos^2\alpha= sin^2\alpha+cos^4\alpha$.

ROZWIĄZANIE:

Trzeba pokazać taką równość:\[sin^4\alpha+cos^2\alpha=sin^2\alpha+cos^4\alpha.\]Przenosimy kwadraty na jedną stronę, czwarte potęgi na drugą:\[sin^4\alpha-cos^4\alpha=sin^2\alpha-cos^2\alpha.\]Zauważamy po obu stronach wzór:\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\] jednak zastosujemy go tylko po lewej - aby z czwartej potęgi zrobić drugą.\[(sin^2\alpha-cos^2\alpha)\cdot(sin^2\alpha+cos^2\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha.\]Oczywiście zachodzi jedynka trygonometryczna \[sin^2\alpha+cos^2\alpha=1.\]Wstawiamy w miejsce drugiego nawiasu \[(sin^2\alpha-cos^2\alpha)\cdot 1=sin^2\alpha-cos^2\alpha.\]\[sin^2\alpha-cos^2\alpha=sin^2\alpha-cos^2\alpha.\]\[L=P\]

Zadanie domowe:
Uzasadnij, że jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym, to $sin^4\alpha+2sin^2\alpha\cdot cos^2\alpha=1-cos^4\alpha$.