Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 26

(2 pkt.)
Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz ilu studentów jest w tej grupie.


ROZWIĄZANIE:

Przypomnijmy sobie na najprostszym przykładzie, o co chodzi w średniej. Dodajemy do siebie wszystkie oceny z matematyki, dzielimy je przez ich ilość i dostajemy średnią ocen.

Odnieśmy więc to do grupy studentów.

$x_1$ to wiek pierwszego studenta, $x_2$ drugiego, ..., $x_n$ to wiek $n$-tego studenta.

Gdy dodamy ich lata i podzielimy przez ich ilość otrzymamy 23. Oczywiście studentów jest $n$: $$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=23.$$
Teraz do naszej grupy studentów przychodzi opiekun, który ma 39 lat. Dodamy jego wiek, ale podzielimy, przez $n+1$, bo tyle osób liczy nasza grupa. Średnia wyniesie wzrośnie do 24 lat: $$\frac{x_1+x_2+...+x_n+39}{n+1}=24.$$
Widzimy więc dwa równania, w których niewiadomą jest $n$ oraz suma $x_1+x_2+...+x_n$, którą oznaczymy jako $y$: $$\frac{y}{n}=23$$ $$\frac{y+39}{n+1}=24.$$ Rozwiążmy oba równania, na początku pozbądźmy się mianowników: $$y=23n$$ $$y+39=24(n+1).$$ Wstawmy wartość $y$ do drugiego równania: $$23n+39=24(n+1).$$ I wyliczmy $n$... $$23n+39=24n+24$$ $$39-24=24n-23n$$ $$15=n.$$ A że to właśnie o ilość studentów w danej grupie nas pytano, to nie musimy nawet liczyć wartości niewiadomej $y$, bo mamy już odpowiedź: $$n=15.$$

ODPOWIEDŹ: W tej grupie jest 15 studentów.

Zadanie domowe:

(2 pkt.)
Średnia wieku w pewnej grupie uczniów jest równa 18 lat. Średnia wieku tych uczniów i ich nauczyciela od matematyki jest równa 26 lat. Nauczyciel ma 42 lata. Oblicz ilu uczniów jest w tej grupie.