(2 pkt.)
Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz ilu studentów jest w tej grupie.
ROZWIĄZANIE:
Przypomnijmy sobie na najprostszym przykładzie, o co chodzi w średniej. Dodajemy do siebie wszystkie oceny z matematyki, dzielimy je przez ich ilość i dostajemy średnią ocen.
Odnieśmy więc to do grupy studentów.
$x_1$ to wiek pierwszego studenta, $x_2$ drugiego, ..., $x_n$ to wiek $n$-tego studenta.
Gdy dodamy ich lata i podzielimy przez ich ilość otrzymamy 23. Oczywiście studentów jest $n$:\[\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=23.\]
Teraz do naszej grupy studentów przychodzi opiekun, który ma 39 lat. Dodamy jego wiek, ale podzielimy, przez $n+1$, bo tyle osób liczy nasza grupa. Średnia wyniesie wzrośnie do 24 lat:\[\frac{x_1+x_2+...+x_n+39}{n+1}=24.\]
Widzimy więc dwa równania, w których niewiadomą jest $n$ oraz suma $x_1+x_2+...+x_n$, którą oznaczymy jako $y$:\[\frac{y}{n}=23\]\[\frac{y+39}{n+1}=24.\]Rozwiążmy oba równania, na początku pozbądźmy się mianowników:\[y=23n\]\[y+39=24(n+1).\]Wstawmy wartość $y$ do drugiego równania:\[23n+39=24(n+1).\]I wyliczmy $n$...\[23n+39=24n+24\]\[39-24=24n-23n\]\[15=n.\]A że to właśnie o ilość studentów w danej grupie nas pytano, to nie musimy nawet liczyć wartości niewiadomej $y$, bo mamy już odpowiedź:\[n=15.\]
Odnieśmy więc to do grupy studentów.
$x_1$ to wiek pierwszego studenta, $x_2$ drugiego, ..., $x_n$ to wiek $n$-tego studenta.
Gdy dodamy ich lata i podzielimy przez ich ilość otrzymamy 23. Oczywiście studentów jest $n$:\[\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}=23.\]
Teraz do naszej grupy studentów przychodzi opiekun, który ma 39 lat. Dodamy jego wiek, ale podzielimy, przez $n+1$, bo tyle osób liczy nasza grupa. Średnia wyniesie wzrośnie do 24 lat:\[\frac{x_1+x_2+...+x_n+39}{n+1}=24.\]
Widzimy więc dwa równania, w których niewiadomą jest $n$ oraz suma $x_1+x_2+...+x_n$, którą oznaczymy jako $y$:\[\frac{y}{n}=23\]\[\frac{y+39}{n+1}=24.\]Rozwiążmy oba równania, na początku pozbądźmy się mianowników:\[y=23n\]\[y+39=24(n+1).\]Wstawmy wartość $y$ do drugiego równania:\[23n+39=24(n+1).\]I wyliczmy $n$...\[23n+39=24n+24\]\[39-24=24n-23n\]\[15=n.\]A że to właśnie o ilość studentów w danej grupie nas pytano, to nie musimy nawet liczyć wartości niewiadomej $y$, bo mamy już odpowiedź:\[n=15.\]
ODPOWIEDŹ: W tej grupie jest 15 studentów.
(2 pkt.)
Średnia wieku w pewnej grupie uczniów jest równa 18 lat. Średnia wieku tych uczniów i ich nauczyciela od matematyki jest równa 26 lat. Nauczyciel ma 42 lata. Oblicz ilu uczniów jest w tej grupie.
wyszło mi 2 :>
OdpowiedzUsuńbo tak wyjść powinno:D
Usuń