(2 pkt.)
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
ROZWIĄZANIE:
Na początek przypomnijmy, że liczby całkowite to liczby naturalne wraz z liczbami do nich przeciwnymi i zerem:\[C=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}.\]
Jak więc zapisać trzy kolejne liczby? Oczywiście:\[{x, x+1,x+2}\] Teraz wyznaczmy sumę ich kwadratów:\[x^2+(x+1)^2+(x+2)^2\]Zastosujmy wzory skróconego mnożenia, pozbądźmy się nawiasów...\[x^2+(x^2+2x+1)+(x^2+4x+4)\]\[x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4\]\[3x^2+6x+5\]Mamy pokazać podzielność przez $3$ z resztą $2$, w tym celu musimy wyciągnąć $3$ przed nawias. Najpierw jednak zauważmy, że $5$ można rozbić na $3+2$ \[3x^2+6x+3+2\] i teraz wyciągnijmy wspomnianą $3$, zostawiając liczbę $2$ poza nawiasem:\[3(x^2+2x+1)+2\]Ta postać oznacza, że wynik da się zapisać w postaci \[3k+2, \ \ \ \ k=x^2+2x+1.\]Jest to oczywiście postać liczby całkowitej, podzielnej przez $3$ z resztą $2$. To kończy nasze uzasadnienie.
Jak więc zapisać trzy kolejne liczby? Oczywiście:\[{x, x+1,x+2}\] Teraz wyznaczmy sumę ich kwadratów:\[x^2+(x+1)^2+(x+2)^2\]Zastosujmy wzory skróconego mnożenia, pozbądźmy się nawiasów...\[x^2+(x^2+2x+1)+(x^2+4x+4)\]\[x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4\]\[3x^2+6x+5\]Mamy pokazać podzielność przez $3$ z resztą $2$, w tym celu musimy wyciągnąć $3$ przed nawias. Najpierw jednak zauważmy, że $5$ można rozbić na $3+2$ \[3x^2+6x+3+2\] i teraz wyciągnijmy wspomnianą $3$, zostawiając liczbę $2$ poza nawiasem:\[3(x^2+2x+1)+2\]Ta postać oznacza, że wynik da się zapisać w postaci \[3k+2, \ \ \ \ k=x^2+2x+1.\]Jest to oczywiście postać liczby całkowitej, podzielnej przez $3$ z resztą $2$. To kończy nasze uzasadnienie.
Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1 (a więc jest liczbą nieparzystą).
2k+1
OdpowiedzUsuńk=x2+x
świetnie:)
Usuń