Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 31

(2 pkt.)
Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę $45^{\circ}$, a jego pole jest równe $50\sqrt{2}$. Oblicz wysokość tego rombu.

ROZWIĄZANIE:

Jak w każdym zadaniu z planimetrii zaczynamy od rysunku.

Dane mamy pole rombu i jego kąt ostry. Wzór na pole to oczywiście $$P=a\cdot h.$$ Przyjrzyjmy się trójkątowi $AED$. Oczywiście jest to trójkąt prostokątny - ponieważ wysokość pada pod kątem prostym. Co więcej, oba kąty ostre mają po $45^{\circ}$ (bo suma kątów w trójkącie musi wynosić $180^{\circ}$). Oznaczmy boki rombu jako $a$, wysokość jako $h$:

Widzimy więc już nasz trójkąt $AED$ i zauważamy, że długość $AE$ wynosi dokładnie tyle samo co $ED$, czyli $h$ - a wszystko dlatego, że trójkąt $AED$ jest ma dwa równe kąty więc jest równoramienny. $$|AE|=|ED|=h$$ Zauważamy też, że $$sin45^{\circ}=\frac{h}{a}$$ czyli, że (zgodnie z wartością sinusa z tablic):  $$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{h}{a}$$ Mnożymy obustronnie razy $a$: $$h=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a$$ Tak otrzymaną wartość wstawimy do wzoru na pole:   $$P=a\cdot h.$$ Oczywiście wiemy ile wynosiło pole:   $$50\sqrt{2}=a\cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a).$$ Pozostaje zredukować i wyznaczyć $a$: $$50\sqrt{2}=a^2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\ \ \ \ |^{\cdot 2}$$ $$100\sqrt{2}=a^2 \sqrt{2}\ \ \ \ |^{:\sqrt{2}}$$ $$a^2=100$$ $$a=10 \vee a=-10$$ Oczywiście ujemną wartość odrzucamy, bo długość boku nie może być liczbą ujemną. Wychodzi $$a=10$$ ...to wstawiamy to wyliczonej formuły na $h$: $$h=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 10=5\sqrt{2}.$$

ODPOWIEDŹ: Wysokość tego rombu wynosi $5\sqrt{2}$.

Zadanie domowe:
Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę $30^{\circ}$, a jego pole jest równe $50$. Oblicz wysokość tego rombu.