Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 29

(2 pkt.)
Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
ROZWIĄZANIE:

Na początek przypomnijmy, że liczby całkowite to liczby naturalne wraz z liczbami do nich przeciwnymi i zerem: $$C=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}.$$
Jak więc zapisać trzy kolejne liczby? Oczywiście: $${x, x+1,x+2}$$ Teraz wyznaczmy sumę ich kwadratów: $$x^2+(x+1)^2+(x+2)^2$$ Zastosujmy wzory skróconego mnożenia, pozbądźmy się nawiasów... $$x^2+(x^2+2x+1)+(x^2+4x+4)$$ $$x^2+x^2+2x+1+x^2+4x+4$$ $$3x^2+6x+5$$ Mamy pokazać podzielność przez $3$ z resztą $2$, w tym celu musimy wyciągnąć $3$ przed nawias. Najpierw jednak zauważmy, że $5$ można rozbić na $3+2$ $$3x^2+6x+3+2$$ i teraz wyciągnijmy wspomnianą $3$, zostawiając liczbę $2$ poza nawiasem: $$3(x^2+2x+1)+2$$ Ta postać oznacza, że wynik da się zapisać w postaci $$3k+2, \ \ \ \  k=x^2+2x+1.$$ Jest to oczywiście postać liczby całkowitej, podzielnej przez $3$ z resztą $2$. To kończy nasze uzasadnienie.

Zadanie domowe:
Wykaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 2 daje resztę 1 (a więc jest liczbą nieparzystą).