Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 15

Ciąg $(2\sqrt{2},4,a)$ jest geometryczny. Wówczas:
A. $a=8\sqrt{2}$
B. $a=4\sqrt{2}$
C. $a=8-2\sqrt{2}$
D. $a=8+2\sqrt{2}$


ROZWIĄZANIE:

W zadaniu tym skorzystamy z często pojawiającej się na maturze zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego lub geometrycznego. Ważne, aby nie pomylić wzorów, co zdarza się dość często. Oczywiście znajdziemy je w tablicach. Interesuje nas ciąg geometryczny:

Oznacza to, że środkowy wyraz podniesiony do kwadratu ma być równy iloczynowi wyrazów skrajnych (pierwszego i trzeciego). $$a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$$ Wstawiamy dane z zadania: $$4^2=2\sqrt{2}\cdot a$$ $$16=2\sqrt{2}\cdot a$$ Oczywiście obustronnie dzielimy przez to, co przeszkadza nam przy $a$: $$16=2\sqrt{2}\cdot a\ \ \ |^{:2\sqrt{2}}$$ $$\frac{16}{2\sqrt{2}}=a$$ Uwymiernimy: $$a=\frac{16}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}}{2\cdot 2}=$$ $$=\frac{16\sqrt{2}}{4}=4\sqrt{2}$$

ODPOWIEDŹ: B.

Zadanie domowe:

Ciąg $(a,6,3\sqrt{2})$ jest geometryczny. Wówczas:
A. $a=12+3\sqrt{2}$
B. $a=12-3\sqrt{2}$
C. $a=4\sqrt{2}$
D. $a=6\sqrt{2}$