Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 25

(2 pkt.)

Rozwiąż nierówność $x^2-3x-10<0$.


ROZWIĄZANIE:

Nierówność kwadratowa $$x^2-3x-10<0.$$ Oczywiście zaczynamy od wypisania współczynników trójmianu: $$a=1,\ \ \ \ b=-3,\ \ \ \ c=-10$$ i policzenia delty: $$\Delta=b^2-4ac$$ $$\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-10)=9+40=49.$$ Delta jest liczbą dodatnią, więc istnieją $x_1$ i $x_2$: $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ \ \ \ \ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ Obliczmy nieszczęsny pierwiastek: $$\sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7.$$ Pozostaje wstawić do wzorów na $x_1,\ x_2$: $$x_1=\frac{-(-3)-7}{2\cdot 1},\ \ \ \ \ x_2=\frac{-(-3)+7}{2\cdot 1}$$ $$x_1=\frac{3-7}{2},\ \ \ \ \ x_2=\frac{3+7}{2}$$ $$x_1=\frac{-4}{2},\ \ \ \ \ x_2=\frac{10}{2}$$ $$x_1=-2,\ \ \ \ \ x_2=5.$$
Gdyby to było równanie to zakończylibyśmy na tym.

W zadaniu pytają nas jednak o rozwiązanie nierówności, której wykresem jest parabola.

$a=1>0$ więc ramiona tej paraboli będą zwrócone ku górze.

W związku z tym, że mamy w nierówności do czynienia ze znakiem "$<$" kółka będą puste. (Pełne, gdy $\leq$ lub $\geq$).

Potrzebujemy iksów mniejszych od zera, a więc tych od osią.

Zapiszmy więc rozwiązanie: $$x\in (-2;5).$$

ODPOWIEDŹ: Rozwiązaniem nierówności są liczby z przedziału $(-2;5)$.

Zadanie domowe:
Rozwiąż nierówność $x^2+5x+4\geq 0$.