Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 19

Punkt $S=(2,7)$ jest środkiem odcinka $AB$, w którym $A=(-1,3)$. Punkt $B$ ma współrzędne:

A.$B=(5,11)$
B.$B=(\frac{1}{2}, 2)$
C.$B=(-\frac{3}{2},-5)$
D.$B=(3,11)$

ROZWIĄZANIE:

Na współrzędne środka odcinka $AB$ znajdziemy wzór w tablicach.

Dla $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$ środek to:\[S=(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})\]

W naszej sytuacji musimy skorzystać z tego wzoru, a następnie przekształcić go tak, by otrzymać $(x_B,y_B)$. Wstawiamy dane z zadania:\[(2,7)=(\frac{-1+x_B}{2},\frac{3+y_B}{2})\]Porównajmy kolejne współrzędne:\[2=\frac{-1+x_B}{2}\]\[7=\frac{3+y_B}{2}\]W obu równaniach pasowałoby pozbyć się mianownika – dlatego mnożymy obustronnie przez 2. \[4=-1+x_B\]\[14=3+y_B\]Teraz pozostaje tylko przenieść liczby na lewą stronę \[4+1=x_B\]\[14-3=y_B\]Otrzymujemy:\[x_B=5\]\[y_B=11\]A to oznacza, że nasz punkt B, to:\[B=(5,11)\]

ODPOWIEDŹ:  A.

Zadanie domowe:
Punkt $S=(-2,3)$ jest środkiem odcinka $AB$, w którym $A=(-4,-3)$. Punkt $B$ ma współrzędne:
A. $B=(8,9)$

B. $B=(6,3)$

C. $B=(0,9)$
D. $B=(0,3)$