Matura podstawowa, czerwiec 2012, zadanie 19

Punkt $S=(2,7)$ jest środkiem odcinka $AB$, w którym $A=(-1,3)$. Punkt $B$ ma współrzędne:

A.$B=(5,11)$
B.$B=(\frac{1}{2}, 2)$
C.$B=(-\frac{3}{2},-5)$
D.$B=(3,11)$

ROZWIĄZANIE:

Na współrzędne środka odcinka $AB$ znajdziemy wzór w tablicach.

Dla $A=(x_A,y_A)$ oraz $B=(x_B,y_B)$ środek to: $$S=(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$$

W naszej sytuacji musimy skorzystać z tego wzoru, a następnie przekształcić go tak, by otrzymać $(x_B,y_B)$. Wstawiamy dane z zadania: $$(2,7)=(\frac{-1+x_B}{2},\frac{3+y_B}{2})$$ Porównajmy kolejne współrzędne: $$2=\frac{-1+x_B}{2}$$ $$7=\frac{3+y_B}{2}$$ W obu równaniach pasowałoby pozbyć się mianownika – dlatego mnożymy obustronnie przez 2. $$4=-1+x_B$$ $$14=3+y_B$$ Teraz pozostaje tylko przenieść liczby na lewą stronę $$4+1=x_B$$ $$14-3=y_B$$ Otrzymujemy: $$x_B=5$$ $$y_B=11$$ A to oznacza, że nasz punkt B, to: $$B=(5,11)$$

ODPOWIEDŹ:  A.

Zadanie domowe:
Punkt $S=(-2,3)$ jest środkiem odcinka $AB$, w którym $A=(-4,-3)$. Punkt $B$ ma współrzędne:
A. $B=(8,9)$

B. $B=(6,3)$

C. $B=(0,9)$
D. $B=(0,3)$