Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 33

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt $A(1,8)$ i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

ROZWIĄZANIE:

Rysunek zaczerpnięty z klucza odpowiedzi - jest wyraźny i wszystko widać. 

Dokładnie - mamy dwa przypadki, oba w pierwszej ćwiartce układu. 

Dlaczego? 

Żeby okrąg był styczny do obu osi układu współrzędnych i żeby przechodził przez punkt $A=(1,8)$, musi mieć środek właśnie w tej ćwiartce. Co więcej, jego środek musi być jednakowo odległy od osi OX i osi OY, więc nasz okrąg będzie miał taką samą pierwszą jak i drugą współrzędną środka. Oznaczymy więc $$S=(r,r),$$ promień okręgu to oczywiście $r$.

Wstawiamy nasze dane do równania okręgu $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ otrzymując równanie $$(x-r)^2+(y-r)^2=r^2.$$ Ponadto wiemy, że punkt $A$ spełnia równanie okręgu. $$(1-r)^2+(8-r)^2=r^2$$ Po podniesieniu do kwadratu otrzymamy równanie kwadratowe: $$1-2r+r^2+64-16r+r^2=r^2$$ $$r^2-18r+65=0.$$ Trzeba by wyliczyć deltę: $$\Delta=(-18)^2-4\cdot1\cdot65=324-260=64$$ $$\sqrt{\Delta}=8$$ $$r_1=\frac{18-8}{2}=5, \ \ \ \ x_2=\frac{18+8}{2}=13.$$ Otrzymaliśmy dwa przypadki zaznaczone na rysunku.

Zapiszmy równania okręgów: $$(x-5)^2+(y-5)^2=5^2$$ lub $$(x-13)^2+(y-13)^2=13^2.$$ Co ostatecznie daje $$(x-5)^2+(y-5)^2=25$$ lub $$(x-13)^2+(y-13)^2=169.$$

Zadanie domowe:
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt $A(-3,-6)$ i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.