Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej $n$ liczba $3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$ jest wielokrotnością liczby 10.
ROZWIĄZANIE:
Aby pokazać podzielność wyrażenia przez daną liczbę najprościej spróbować wyciągnąć ją przed nawias. Co możemy zrobić w naszym wyrażeniu?$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$Przede wszystkim rozdzielmy potęgi: $$3^n\cdot 3^2-2^n\cdot 2^2+3^n-2^n$$ i pogrupujmy wyrazy:$$3^n\cdot 9+3^n-2^n\cdot 4-2^n=3^n\cdot(9+1)-2^n\cdot (4+1)$$Przy takich przekształceniach łatwo pomylić się w znaku - upewnijmy się zawsze, że nie mamy błędu!
Widzimy, że w jednym nawiasie wychodzi 10. $$3^n\cdot 10-2^n\cdot 5$$Skąd w drugiej części wyrażenia wziąć 10? Mamy już piątkę, a obok niej stoi dwójka... $$3^n\cdot 10-2^{n-1}\cdot 2\cdot 5$$$$3^n\cdot 10-2^{n-1}\cdot 10=10(3^n-2^{n-1})$$
Oczywiście jest to wielokrotność 10 ponieważ $3^n-2^{n-1}$ jest liczbą całkowitą dla dodatniego i całkowitego $n$. Takie uzasadnienie kończy dowód.
Widzimy, że w jednym nawiasie wychodzi 10. $$3^n\cdot 10-2^n\cdot 5$$Skąd w drugiej części wyrażenia wziąć 10? Mamy już piątkę, a obok niej stoi dwójka... $$3^n\cdot 10-2^{n-1}\cdot 2\cdot 5$$$$3^n\cdot 10-2^{n-1}\cdot 10=10(3^n-2^{n-1})$$
Oczywiście jest to wielokrotność 10 ponieważ $3^n-2^{n-1}$ jest liczbą całkowitą dla dodatniego i całkowitego $n$. Takie uzasadnienie kończy dowód.
Uzasadnij, że liczba $6\cdot 5^3+5^4+5^5$ jest podzielna przez 10.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz