Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba 3n+2−2n+2+3n−2n jest wielokrotnością liczby 10.
ROZWIĄZANIE:
Aby pokazać podzielność wyrażenia przez daną liczbę najprościej spróbować wyciągnąć ją przed nawias. Co możemy zrobić w naszym wyrażeniu?3n+2−2n+2+3n−2n
Widzimy, że w jednym nawiasie wychodzi 10. 3n⋅10−2n⋅5
Oczywiście jest to wielokrotność 10 ponieważ 3n−2n−1 jest liczbą całkowitą dla dodatniego i całkowitego n. Takie uzasadnienie kończy dowód.
Przede wszystkim rozdzielmy potęgi: 3n⋅32−2n⋅22+3n−2n
i pogrupujmy wyrazy:3n⋅9+3n−2n⋅4−2n=3n⋅(9+1)−2n⋅(4+1)
Przy takich przekształceniach łatwo pomylić się w znaku - upewnijmy się zawsze, że nie mamy błędu!
Widzimy, że w jednym nawiasie wychodzi 10. 3n⋅10−2n⋅5
Skąd w drugiej części wyrażenia wziąć 10? Mamy już piątkę, a obok niej stoi dwójka... 3n⋅10−2n−1⋅2⋅5
3n⋅10−2n−1⋅10=10(3n−2n−1)
Oczywiście jest to wielokrotność 10 ponieważ 3n−2n−1 jest liczbą całkowitą dla dodatniego i całkowitego n. Takie uzasadnienie kończy dowód.
Uzasadnij, że liczba 6⋅53+54+55 jest podzielna przez 10.
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz