Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 30

Liczby $27,x,3$ są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz ósmy wyraz tego ciągu.

ROZWIĄZANIE:

Ciąg $(27,x,3)$ ma być ciągiem geometrycznym, więc powinna zachodzić zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego $$a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}$$ Inaczej: kwadrat wyrazu środkowego ma być równy iloczynowi wyrazów skrajnych.
Wyliczmy $x$: $$x^2=27\cdot 3$$ $$x^2=81$$ $$x=9 \ \ \ \ \vee\ \ \ \ x=-9$$
Dostaliśmy więc dwa przypadki.

Dla $x=9$ nasz ciąg $(27,9,3)$ jest malejący.
Dla $x=-9$ nasz ciąg $(27,-9,3)$ jest naprzemienny - odrzucamy go.

Pozostało wyliczyć wyraz ósmy ciągu, którego parametry to $$a_1=27$$ $$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$
Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego znajdziemy w tablicach: $$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$ Wstawiamy zamiast $n$ liczbę 8: $$a_8=a_1\cdot q^{8-1}$$ $$a_8=a_1\cdot q^7$$ Teraz nasze dane: $$a_8=27\cdot \Big(\frac{1}{3}\Big)^7$$ $$a_8=3^3\cdot 3^{-7}=3^{3-7}=3^{-4}=\frac{1}{81}$$

ODPOWIEDŹ: Ósmy wyraz tego ciągu to $\frac{1}{81}$.

Zadanie domowe:
Liczby $2,x,72$ są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem rosnącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.