Matura podstawowa, czerwiec 2011, zadanie 31

Oblicz sumę wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3,4 (cyfry mogą się powtarzać).

ROZWIĄZANIE:

Zdecydowanie najtrudniejsze zadanie z matury podstawowej w przerobionych jak dotąd arkuszach!
Przede wszystkim zauważamy, że cyfry mogą się powtarzać. Ile będzie takich liczb? $$_ _ _$$ Na każdym miejscu możemy ustawić po 4 cyfry. Wszystkich możliwości będzie więc $$4\cdot 4 \cdot 4=64.$$ Oczywiście możemy na piechotę wypisać wszystkie liczby trzycyfrowe spełniające warunki zadania a następnie je dodać, ale da się coś zauważyć.

Każda liczba trzycyfrowa może być zapisana jako $$a\cdot 100+b\cdot 10+c$$
Ile razy jedynka może być cyfrą setek? _ _ _ $1\cdot 4 \cdot 4=16$ - bo na pierwszym miejscu jest tylko jedynka (a więc jedna opcja), miejsce drugie zapełnić możemy przez 1,2,3,4. Podobnie miejsce jedności.

A ile razy dwójka może być cyfrą setek? _ _ _ $1\cdot 4 \cdot 4=16$ - bo na pierwszym miejscu jest tylko dwójka (a więc jedna opcja), miejsce drugie zapełnić możemy przez 1,2,3,4. Podobnie miejsce jedności.

...

Zastanówmy się! Każda z liczb, na każdej pozycji będzie występować 16 razy!

Suma setek wynosi: $$16\cdot 1\cdot 100+16\cdot 2\cdot 100+16\cdot 3\cdot 100+16\cdot 4\cdot 100=16000$$
Suma dziesiątek wynosi: $$16\cdot 1\cdot 10+16\cdot 2\cdot 10+16\cdot 3\cdot 10+16\cdot 4\cdot 10=1600$$
Suma jedności wynosi: $$16\cdot 1\cdot 1+16\cdot 2\cdot 1+16\cdot 3\cdot 1+16\cdot 4\cdot 1=160$$
To, daje razem szukaną sumę: $$16000+1600+160=17760.$$

Zadanie domowe:
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą cyfr 1,2,3,4,5 (cyfry mogą się powtarzać).