Matura podstawowa, sierpień 2011, zadanie 33

Podstawą ostrosłupa $ABCDW$ jest prostokąt $ABCD$. Krawędź boczna $DW$ jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne $AW$, $BW$ i $CW$ mają następujące długości $|AW|=6$, $|BW|=9$ i $|CW|=7$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.





ROZWIĄZANIE:

Oczywiście zaznaczamy na rysunku nasze dane, krawędzie podstawy podpisujemy jako $a$ i $b$, wysokość ostrosłupa standardowo jako $H$.
Do policzenia objętości potrzebne nam są właśnie te trzy wielkości: $$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}a\cdot b\cdot H,$$ bo przecież podstawa jest prostokątem.
Na rysunku zaznaczymy też trójkąty związane z długościami, które znamy - chcemy by były to trójkąty prostokątne - lubimy przecież twierdzenie Pitagorasa! (takich trójkątów wygodnie szukać w każdym zadaniu z ostrosłupów)

No właśnie... i widzimy tu aż cztery możliwości zastosowania twierdzenia Pitagorasa. 

Na początek w podstawie: $$d^2=a^2+b^2$$ A następnie w kolejnych, kolorowych trójkątach: $$\left\{\begin{matrix}a^2+H^2=7^2\\ d^2+H^2=9^2\\ b^2+H^2=6^2\end{matrix}\right.$$ Przede wszystkim pozbywamy się wielkości $d^2$ wstawiając za nią to co wyliczyliśmy dla podstawy: $$\left\{\begin{matrix}a^2+H^2=49\\ a^2+b^2+H^2=81\\ b^2+H^2=36\end{matrix}\right.$$ Dodajmy pierwsze i trzecie równanie do siebie - otrzymamy: $$\left\{\begin{matrix}a^2+b^2+2H^2=49+36\\ a^2+b^2+H^2=81\end{matrix}\right.$$ Teraz odejmijmy równania stronami, skrócą się wyrażenia $a^2+b^2$ a nasze równanie będzie zależeć wyłącznie od $H^2$: $$2H^2-H^2=49+36-81$$ $$H^2=4$$ $$H=2$$ Wyliczyliśmy jedną z potrzebnych niewiadomych, wstawiając ją do wyjściowych równań (pierwszego i trzeciego) dostajemy: $$\left\{\begin{matrix}a^2+2^2=49\\b^2+2^2=36\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}a^2=49-4\\b^2=36-4\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}a^2=45\\b^2=32\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\\b=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$ Rozwiązaniem układu są liczby $$\left\{\begin{matrix}a=3\sqrt{5}\\ b=4\sqrt{2}\\ H=2\end{matrix}\right.$$

Podstawmy je do wzoru na objętość: $$V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}a\cdot b\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{2}\cdot 2=\frac{24}{3}\sqrt{10}=8\sqrt{10}.$$

ODPOWIEDŹ: Objętość ostrosłupa wynosi $8\sqrt{10}$.

Zadanie domowe:
Podstawą ostrosłupa $ABCDW$ jest prostokąt $ABCD$. Krawędź boczna $DW$ jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne $AW$, $BW$ i $CW$ mają następujące długości $|AW|=5$, $|BW|=8$ i $|CW|=5$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
(znów nie przeliczam, więc niektóre wyniki mogą okazać się "brzydkie")