Matura podstawowa, sierpień 2011, zadanie 31

Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z boisk.

ROZWIĄZANIE:

Zacznijmy od małego rysunku:

Widzimy, że boki prostokąta wraz z przekątną tworzą trójkąty prostokątne. A jak trójkąty prostokątne to oczywiście twierdzenie Pitagorasa! Układamy je dla każdego z boisk: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=65^2\\(x+4)^2+(y-8)^2=65^2\end{matrix}\right.$$ Stosujemy wzory skróconego mnożenia, by pozbyć się nawiasów: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=4225\\x^2+8x+16+y^2-16y+64=4225\end{matrix}\right.$$ Teraz chcemy trochę uprościć nasze równanie, ponieważ nie lubimy mieć kwadratów... Widzimy, że w drugim równaniu występuje całe pierwsze. Wstawiamy je $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=4225\\4225+8x+16-16y+64=4225\end{matrix}\right.$$ i porządkujemy drugie równanie: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=4225\\8x-16y+80=0\end{matrix}\right.$$ Wyliczamy z drugiego równania na przykład $x$: $$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=4225\\x=2y-10\end{matrix}\right.$$ Wstawmy go teraz do pierwszego równania: $$\left\{\begin{matrix}(2y-10)^2+y^2=4225\\x=2y-10\end{matrix}\right.$$ i zajmijmy się wyłącznie pierwszym równaniem, ponieważ jest to w tym momencie równanie z jedną niewiadomą: $$4y^2-40y+100+y^2=4225$$ $$5y^2-40y-4125=0$$ Podzielmy przez 5: $$y^2-8y-825=0$$ $$a=1,\ \ \ b=-8,\ \ \ c=-825$$ $$\Delta=(-8)^2-4\cdot 1\cdot (-825)=64+3300=3364$$ $$\sqrt{\Delta}=\sqrt{3364}=58$$ $$y_1=\frac{8-58}{2}=\frac{-50}{2}=-25, \ \ \ y_2=\frac{8+58}{2}=\frac{66}{2}=33$$ Oczywiście pierwszy z pierwiastków odrzucimy, ponieważ szerokość (ani długość) boiska nie może być liczbą ujemną. Dostajemy więc $y=33$, $x$ policzmy z równania wyznaczonego wcześniej: $$x=2y-10=2\cdot 33-10=66-10=56$$ Wymiary pierwszego boiska to: $$\left\{\begin{matrix}x=56\\y=33\end{matrix}\right.$$ Natomiast wymiary drugiego wynoszą $$\left\{\begin{matrix}x=56+4=60\\y=33-8=25\end{matrix}\right.$$

ODPOWIEDŹ: Pierwsze boisko ma wymiary 56 m i 33 m, drugie 60 m i 25 m.

Zadanie domowe:
Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 35 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 2 m mniejszą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 4 m większą. Oblicz długość i szerokość każdego z boisk.
(nie przeliczam, spodziewajcie się brzydkich wyników, zaokrąglijcie pierwiastek z delty do dwóch miejsc po przecinku)