Matura podstawowa, sierpień 2011, zadanie 28

Na bokach trójkąta równobocznego $ABC$ (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty $ABDE$, $CBGH$ i $ACKL$. Udowodnij, że trójkąt $KGE$ jest równoboczny.





ROZWIĄZANIE:

Na początku wrysujmy sobie nasz trójkąt $KGE$:

Na drugim rysunku, wrysowaliśmy sobie trzy trójkąty $KCH$, $GBD$, $LAE$. 

Ponieważ długości boków są równe: $$KC=CH=GB=BD=LA=AE$$ oraz kąty $$\measuredangle KCH=\measuredangle GBD =\measuredangle EAL=90^{\circ}+90^{\circ}+60^{\circ}$$ mamy do czynienia z przystającymi trójkątami równoramiennymi. Ich podstawy także będą sobie równe: $$KH=GD=LE.$$

Spójrzmy na trzeci rysunek:

- mamy już równość odcinków $KH$, $GD$, $LE$

- mamy także równość odcinków $HG$, $ED$, $LK$ - jako boków kwadratów, zbudowanych na bokach trójkąta równobocznego.

Pozostaje pokazać, że są równe miary kątów: $$\measuredangle KHG=\measuredangle GDE =\measuredangle ELK,$$ a oczywiście będzie tak, ponieważ na miarę każdego z nich składa się kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego (które były przystające) i kąt prosty, np.: $$\measuredangle KHG=\measuredangle KHC + 90^{\circ}$$

Na podstawie tych informacji wnioskujemy, że trójkąty $KHG$, $GDE$, $ELK$ są przystające, więc długości zaznaczone na zielono muszą być sobie równe: $$KG=GE=EK,$$ a to znaczy, że trójkąt $KGE$ jest równoboczny.

Zadanie domowe:
Ciężko wymyślić podobne zadanie do wykazania. Spróbuj rozwiązać powyższe jeszcze raz - samodzielnie:-)